<HTML dir=ltr><HEAD><TITLE>Re: [Proj] Meaning of aposphere</TITLE>
<META http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=unicode">
<META content="MSHTML 6.00.6000.17095" name=GENERATOR></HEAD>
<BODY>
<DIV id=idOWAReplyText11220 dir=ltr>
<DIV dir=ltr><FONT face="Times New Roman" color=#000000 size=2>I've read Hotine's series in <EM>Empire Survey Review</EM>.&nbsp; I tell my students that his Aposphere is shaped like a turnip.</FONT></DIV>
<DIV dir=ltr><FONT face="Times New Roman" color=#000000 size=2></FONT>&nbsp;</DIV></DIV>
<DIV id=idSignature30826 dir=ltr>
<DIV><FONT face="Times New Roman" color=#000000 size=2><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN lang=DE style="FONT-SIZE: 10pt; mso-ansi-language: DE">Clifford J. Mugnier, C.P., C.M.S.<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /><o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Chief of Geodesy,<o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><B><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt; FONT-VARIANT: small-caps">Center for GeoInformatics<o:p></o:p></SPAN></B></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Department of Civil Engineering <o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Patrick F. Taylor Hall 3223A<o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><B><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">LOUISIANA STATE UNIVERSITY <o:p></o:p></SPAN></B></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Baton Rouge, LA<SPAN style="mso-spacerun: yes">&nbsp; </SPAN>70803<o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Voice and Facsimile:<SPAN style="mso-spacerun: yes">&nbsp; </SPAN>(225) 578-8536 [Academic] <o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Voice and Facsimile:<SPAN style="mso-spacerun: yes">&nbsp; </SPAN>(225) 578-4578 [Research] <o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Cell: (225) 328-8975 [Academic &amp; Research]<o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Honorary Life Member of the <o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Louisiana Society of Professional Surveyors <o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Fellow Emeritus of the ASPRS <o:p></o:p></SPAN></DIV>
<DIV class=MsoNormal style="MARGIN: 0in 0in 0pt"><SPAN style="FONT-SIZE: 10pt">Member of the Americas Petroleum Survey Group<o:p></o:p></SPAN></DIV><BR></SPAN></FONT></DIV></DIV>
<DIV dir=ltr><BR>
<HR tabIndex=-1>
<FONT face=Tahoma size=2><B>From:</B> proj-bounces@lists.maptools.org on behalf of Charles Karney<BR><B>Sent:</B> Thu 28-Apr-11 06:35<BR><B>To:</B> PROJ.4 and general Projections Discussions<BR><B>Cc:</B> Hilmy Hashim<BR><B>Subject:</B> Re: [Proj] Meaning of aposphere<BR></FONT><BR></DIV>
<DIV>
<P><FONT size=2>Well, I puzzled by how an aposphere could be different from a sphere.<BR>However there are surfaces with constant curvature which are not<BR>spheres.&nbsp; I think if you impose additional conditions, e.g., that the<BR>surface is closed and nowhere singular you end up with a sphere.&nbsp; A<BR>simple example of a non-spherical surface is what you get if you<BR>partially folded up a swimming cap.&nbsp; A tractrix rotated about its<BR>aymptote gives you a surface of constant negative curvature.&nbsp; I'm<BR>uncertain whether any of these are really needed to develop map<BR>projections.<BR><BR>For pictures see Eisenhardt (1909), Chap 8, Figs. 26-30:<BR><BR>&nbsp;&nbsp; <A href="http://books.google.com/books?id=hkENAAAAYAAJ&amp;pg=PA270">http://books.google.com/books?id=hkENAAAAYAAJ&amp;pg=PA270</A><BR><BR>On 04/28/11 07:20, Mikael Rittri wrote:<BR>&gt; Yes, I understand that the aposphere is some kind<BR>&gt; of intermediate surface.<BR>&gt;<BR>&gt; But it's the phrase "sphere of constant total curvature"<BR>&gt; that bothers me.&nbsp; Most people who describes the Hotine cites<BR>&gt; this phrase; I think it's from Snyder.&nbsp; I tried to look up<BR>&gt; "total curvature", and if I remember rightly, it has at least<BR>&gt; two meanings:<BR>&gt;&nbsp;&nbsp;&nbsp; In one meaning, every surface that is topologically equivalent<BR>&gt; to a sphere has the same total curvature (4*pi or something like<BR>&gt; that). That's probably not what Snyder meant...<BR>&gt;&nbsp;&nbsp;&nbsp; In another meaning, total curvature refers to Gaussian curvature<BR>&gt; at a point of a surface.&nbsp; But in this meaning, every sphere has<BR>&gt; constant total curvature, so the aposphere seems to be a sphere,<BR>&gt; no more and no less.&nbsp; So, how does it differ from the Gaussian<BR>&gt; sphere that is used in some other projections, like Swiss Oblique<BR>&gt; Mercator, Krovak, and Oblique Sterographic?<BR>&gt;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Or are there other surfaces than spheres that can have a constant<BR>&gt; Gaussian curvature at every point? (I think there is some trumpet-shaped<BR>&gt; surface that has constant Gaussian curvature, but curvature like a saddle;<BR>&gt; is that positive or negative curvature? But apart from that.)<BR>&gt;<BR>&gt; Well, I shouldn't complain but try to read Hotine's original paper,<BR>&gt; but rumors say it's very dense and difficult to follow. I suspect<BR>&gt; I wouldn't understand it.<BR>&gt;<BR>&gt; But if someone knows a snappy explanation of the aposphere...?<BR>&gt; Just curious,<BR>&gt;<BR>&gt; Mikael Rittri<BR><BR>--<BR>Charles Karney &lt;charles.karney@sri.com&gt;<BR>SRI International, Princeton, NJ 08543-5300<BR>Tel: +1 609 734 2312<BR>_______________________________________________<BR>Proj mailing list<BR>Proj@lists.maptools.org<BR><A href="http://lists.maptools.org/mailman/listinfo/proj">http://lists.maptools.org/mailman/listinfo/proj</A><BR></FONT></P></DIV></BODY></HTML>